Boole Cebri ve Lojik Kapılar

Boole cebri, 1854'te George Boole'un geliştirdiği ve 1938'de Shannon'ın devrelere uyguladığı simgesel bir mantık sistemidir. Bilgisayar devrelerinin tasarımının temelini oluşturur.

Esaslar

Bir değişken yalnızca iki değer alır: 1 (doğru) ya da 0 (yanlış). Üç temel işlem vardır: VE (AND) "·" ile, VEYA (OR) "+" ile, DEĞİL (NOT) ise değişkenin üzerine çizgi çekilerek gösterilir.

Temel kurallar

• Değişme: X + Y = Y + X ve X · Y = Y · X.
• Dağılma: X · (Y + Z) = X·Y + X·Z ve (X + Y) · (X + Z) = X + Y·Z.
• Özdeşlik: X + X = X ve X · X = X.
• VE kuralı: X · 1 = X ve X · 0 = 0. VEYA kuralı: X + 0 = X ve X + 1 = 1.
• Tamamlayıcı: X + X = 1 ve X · X = 0.
• De Morgan: X · Y = X + Y ve X + Y = X · Y.

Sadeleştirme örnekleri

Kurallar art arda uygulanarak ifadeler sadeleştirilir. Örneğin X·Y + X = X·(Y + 1) = X olur. Benzer şekilde Y·(X + X) + Y = Y + Y = 1 bulunur. Sadeleştirme, aynı işi daha az kapıyla yapan devre kurmayı sağlar.

Lojik kapılar

• VE (AND): Yalnızca tüm girişler 1 ise çıkış 1'dir.
• VEYA (OR): Girişlerden en az biri 1 ise çıkış 1'dir.
• DEĞİL (NOT): Tek girişlidir, girişin tersini verir.
• VE DEĞİL (NAND): AND'in tersidir; yalnızca tüm girişler 1 ise çıkış 0 olur. NAND'in iki girişine aynı sinyal verilirse NOT kapısı elde edilir.
• VEYA DEĞİL (NOR): OR'un tersidir; yalnızca tüm girişler 0 ise çıkış 1 olur.
• YA DA (XOR): Girişler birbirinden farklıysa çıkış 1'dir.
• YA DA DEĞİL (XNOR): Girişler aynıysa çıkış 1'dir.

Bir Boole ifadesinin lojik diyagramı çizilirken her çarpım için bir VE, her toplam için bir VEYA, her ters alınan değişken için bir DEĞİL kapısı kullanılır. Örneğin Q = A·B + B·C·D için 2 VE, 1 VEYA ve 1 DEĞİL kapısı gerekir.